疑問
X^2＋4X+4はなぜ(X+2)^2になるのか？
はじめに
中学１年生の因数分解の問題を教える目的で問いた。
因数分解の公式を見つめて、パズル的に解けばテストはいける！というノリで昔は考えていたいたのだが、いざ人に教えるとなると難しいことに気がついた。
因数分解の展開を繰り返していくうちに、展開された式から因数分解ができるようになるものだと思っていた。しかし、これには慣れが必要だし、複雑な問題に対応できない。人に教える理解としては不十分だ。また、問題が複雑になると訳がわからなくなる。というわけで、というわけで考えを深めたいと思った。
Chat-GPTに聞いたら「たすき掛けで解くんだよ」と言われたが、たすき掛けは中１ではなく中学生の後半や高校で習うようだ。たすき掛けという方法を知り問題を解いてもいいが、中１の視点で正しく考えたいのでそれは別の機会に考えるとして、因数分解とは何かということを踏まえて正しい筋道で考えてみることにした。
そもそも因数分解とはなにか？
そもそも因数分解とはなんだろうか？ → ある式を掛け算の形にすること。
x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)
- 展開 ⋯ 掛け算をバラすこと。
- 因数分解 ⋯ バラバラな掛け算をまとめること。
- 因数 ⋯ 掛け算の構成アイテムで、上の展開式ではx+2やx+3が因数である。言い換えると、因数に分けること＝因数分解と言う。
乗法公式とは？
- (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 ⋯ (1)完全平方（プラス）
- (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 ⋯ (2)完全平方（マイナス）
- (a+b)(a-b) = a^2-b^2 ⋯ (3)平方の差
他にもあるが、これらの公式を基本的に習う。
完全平方や平方の差の詳しい解説は別項で行うとして乗法公式という言葉について説明をしておくと、(1)と(2)は同じ因数を掛けている。(3)はbを足し算したものとbを引き算したものを掛けている。掛け算して計算する公式であるため、(1)(2)(3)は乗法公式と呼ぶ。
中学１年で習う時に「乗法公式」「完全平方」「平方の差」の話は出てこないこともあるが、公式を記憶ではなく「構造」として捉える”視点”を持つという意味では知っておいたほうが良いと思った。
完全平方とは？
(x+a)^2 = x^2 + 2ax+a^2 … (1)
(x-a)^2 = x^2 – 2ax+a^2 … (2)
これらの式は完全平方の公式という。
同じ数をかけ合わせたもの＝正方形の１辺を掛けたもの＝正方形の面積⋯だから完全平方の項式というらしい。
完全平方にはプラスとマイナスのものがあり、(1)が完全平方(プラス)で(2)が完全平方(マイナス)である。
平方の差とは？
(a+b)(a-b )= a^2-b^2… (3)
これは平方の差の公式という。
大きい正方形（１辺がa）の面積から小さい正方形（１辺がb）の面積を引いている。
話をまとめると、平方の差とは、大きい正方形の面積から小さい正方形の面積を引いた差である、ということになる。
展開式を因数分解する時のコツ
因数分解を展開することに慣れると自然に因数分解できるようになるが、展開式→因数分解をするプロセスとしては以下のような考え方がある。
１．括れる数を見つける。4x^2 – 8ならば4(x^2-2)にする。
２．括れるものは括った上で、全体もしくは部分的に何項か確認する。 x^2+4x+4だったら3項。もし3項だったら完全平方、2項だったら平方の差の公式が使えないか？を確認する。
⋯これで、中学生の因数分解の基本的な問題は解くことができる。
補足：3項でも完全平方の法則が使用できないケースもある。x^2+px+qの時、足してp、かけてqの値を探す。どんな数にも当てはまらない時は「整数では因数分解できない」とする。
まとめ
・因数分解とは、式を掛け算の形に直すことである。
・展開は掛け算をばらす操作、因数分解はその逆である。
・因数分解をするときは、まず共通因数でくくれるかを確認する。
・くくった後、式が何項かを確認する。
・2項なら平方の差の形かどうかを考える。
・3項なら完全平方の形かどうかを考える。
・完全平方でなければ、一般形として「足して○、かけて○」になる数を探す。
以上
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